viernes, 31 de diciembre de 2010

Funciones, derivadas e integrales.

Vamos a repasar de forma lo más coloquial posible conceptos matemáticos que no tienen que asustar, vamos a tratar de hacerlos lo más intuitivos posibles para que tengas éxito  si tienes que examinarte de ellos o para que simplemente encuentres el placer de su compresión.

La función es una relación que liga las variables independientes con las variables dependientes, por ejemplo una variable independiente x puede ser la edad de un niño y la variable dependiente y será la altura del niño, la función que las relaciona será una relación proporcional del tipo y = kx donde k es un numero que multiplicando la edad nos da la altura.

Esta función se puede representar en unos ejes cartesianos colocando los valores de x el eje horizontal o de abcisas y los correspondientes de y  en el eje vertical u ordenadas de esta forma uniendo las parejas de puntos obtendremos una recta,  en el ejemplo, para que la función fuese más representativa de la realidad  habría que añadir un valor b que sería el peso el día del nacimiento, de manera que la función quedaría y = kx+b , también es muy frecuente sustituir la y por f(x) quedando f(x) = kx+b .

El valor k también se llama pendiente de la recta y es un valor que nos da la idea de la inclinación de la recta que sale uniendo las parejas de puntos (x,y).

Esta pendiente es numéricamente igual al valor de la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta con el eje x, se escribe k = tg alfa siendo alfa dicho ángulo.

También se llama a b ordenada en el origen al ser el valor de y cuando x vale cero.

Este caso es muy simple es el caso en el que la función se representa por una recta, pero una función sirve para expresar muchos fenómenos en muchas ciencias, por ejemplo en física  o en economía , tendremos unas variables independientes cuyas relaciones nos den la variable dependiente y que en el caso más simple de una única variable  independiente x se puede representar fácilmente la función en unos ejes cartesianos tomando el aspecto de recta como en le ejemplo , de parábola si aparece el exponente 2 en la variable independiente esto es y = kx2  o curvas de aspecto parabólico para otros exponentes.

También son muy representativas de fenómenos científicos la curva exponencial y la curva logarítmica.

Y en casos generales la curva tendrá un aspecto mas o menos de serpiente para funciones de tipo polinómicas en las que y es igual a una combinación de sumas y restas de potencias de la variable x, o aspecto por ejemplo de hipérbola con dos ramas cuando la función tiene forma de fracción de polinomios con la variable x en el denominador.

Vamos a introducir un concepto  que causa espanto, pero que tiene que ser muy intuitivo, la función derivada de otra función, se suele representar por y’ o por f’(x) o por dy/dx .

Conceptualmente se define la función derivada de otra función aquella que nos da los valores de la pendiente de la recta tangente a la primera función en cada punto x.

Es de una enorme utilidad para estudiar funciones ya que nos informa del aspecto de la función f(x), es decir cuando el valor que tome f’(x) es mayor que cero  la función diremos que es creciente , esto es que al aumentar la  x aumenta la y.

El caso contrario si la función derivada f’(x) es menor que cero  la función diremos que es decreciente , esto es al aumentar la x diminuirá la y  .


Y es de  suma importancia cundo f’(x)  toma el valor cero ya que nos encontramos ante un valor máximo o mínimo de la función f(x), es decir una cresta o un valle de la curva.

Una utilidad práctica de esto son los problemas de máximos  y mínimos en los cuales normalmente tenemos una función z que depende de dos variables x e y , esto es z= f(x,y)  pero  normalmente estas variables no son independientes, existe entre ellas una relación de dependencia  y=g(x) siendo g otra función


Ejemplo: El cuadrado es la figura de mínimo perímetro para una superficie dada.

Demostremos que dada una superficie A  el rectángulo de menor perímetro es el cuadrado.

Supongamos los lados x e y, de forma que A=x*y  ecuación de condiciones que cumplen las variables dependientes .

El perímetro P= 2x+2y

Como y=A/x sustituyendo en la función que queremos minimizar, queda

P=2x+2(A/x)

P= (2x^2+2A)/x          , función que debe cumplir  dP/dx=0 para obtener la x que hace el perímetro mínimo

dP/dx=(4x^2-2x^2-2A)/(x^2) que igualando a cero

2x^2-2A=0   con lo que x es la raíz cuadrada del área A quedando el mismo valor para y.

Para terminar vamos a introducir el concepto de  Integral o función primitiva que no es otro que simplemente una relación inversa entre las  funciones, es decir si f’(x)  es la función derivada de f(x) se  dice  que  f(x) es por tanto la función primitiva o integral de f’(x)=F(x) , la definición es por tanto una relación de lógica.

Después existen métodos prácticos para calcular derivadas e integrales.

Hay que resaltar que mientras cualquier función se puede derivar por que según la definición de derivada siempre tendrá la función una recta tangente en cada punto y  la derivada es la función que os daba el valor de la pendiente  de esa recta tangente.

No todas las funciones se pueden integrar, ya que para tener función primitiva tienen que ser derivadas de alguien  y eso no ocurre para cualquier función , solo para las que se obtienen derivando otra.

Espero haber aclarado un poco estos bonitos conceptos matemáticos





jueves, 30 de diciembre de 2010

Los Tebeos.

Toda una generación aprendimos leer y a reír con los tebeos de la editorial Bruguera ya desparecida, todos colocados con una pinza de la ropa en una cuerda  en el kiosco de periódicos o en el puesto de cromos y pipas , ordenadamente colocados para que sus coloridas portadas llamasen nuestra atención, había mas tebeos que los que alcanzaba a cubrir nuestra pequeña paga semanal, como no traían noticias frescas como la prensa de los mayores la otra opción era comprarlos atrasados mucho mas baratos, casi regalados comparativamente  a vendedores que se ponían en las puerta del metro como precursores de Top manta o que se ponían a la entrada de las piscinas en verano y por unas pesetas conseguías unos cuantos tebeos, por ejemplo cuatro tebeos por un duro , aquellas plateadas cinco pesetas, lo que te costaba el tebeo de la semana.

He dicho el tebeo, pero era cada tebeo porque había muchos, voy a intentar recordarlos, estaba el pulgarcito de portada de color amarillo, el DDT con la portada de color verde, el Din Dan de color naranja creo, el Tío Vivo con la portada de color azul y con 13 Rue del Percebe de Ibáñez en la contraportada, un bloque de vecinos donde en una página había muchos gags, merece la pena recordarlos, en la planta baja estaba el tendero, siempre sisando o vendiendo mercancía dudosa, en la alcantarilla , debajo de la tapa había un “okupa”, en el portal siempre pasaba algo, en la planta primera  el doctor y sus monstruos, entre ellos un Frankenstein, al lado la pensión con la casera, en la segunda planta la viejecita protectora de animales y el sastre, en la tercera el caco y su mujer y la madre y los niños traviesos y en la buhardilla el moroso y el ratón que hace la vida imposible al gato. Una pagina genial.

En todos estos tebeos habitaban una legión de personajes que tenían una , dos o cuatro paginas, recordemos algunos, Anacleto agente secreto que recordaba al agente 077, protagonista de una serie televisiva de la época, las hermanas Gilda, Leovigilda y Hermenegilda , una con moño y gorda y la otra delgada y más sofisticada, Carpanta que suspiraba por un bocadillo o por un pollo asado, y que dejo para la cultura popular la frase “Tienes más hambre que Carpanta”, el paleto y tozudo Agamenón, Pepe Gotera y Otilio y sus chapuzas a domicilio , Pepe Gotera era el contratista y Otilio el inútil operario, El botones Sacarino que todas sus ocurrencias terminaba sufriéndolas el Presi y pareciendo culpable el Dire , los tres personajes del banco, o el inigualable miope Rompetechos que leía todos los carteles con su subjetiva miopia no acertando nunca, los gemelos Zipi y Zape uno rubio y otro moreno con su padre Don Pantunflo Zapatilla, y los reyes Mortadelo y Filemón , agentes de la TIA donde estaba su jefe , el Súper de superintendente y el profesor Bacterio , el sabio encargado de diseñar los prototipos de la TIA.

Estos dos últimas parejas se independizaron en sus tebeos propios con sus nombres y así en la última época el Mortadelo y el Zipi y Zape eclipsaron a Pulgarcito, DDT, Din Dan y Tío Vivo y por supuesto a otros tres mas antiguos y que no eran de la editorial Bruguera, estos eran el Jaimito, el Pumby y el TBO con la familia Ulises como estrella y los inventos del profesor Franz de Copenague, pero en declive frente a la frescura de Zipi y Zape y Mortadelo.

También había un tebeo solo para chicas que se llamaba Lili y alguna vez caía en nuestras manos masculinas y lo leíamos con gran curiosidad.
Se completaban los tebeos con secciones de cartas de los lectores, viñetas de chistes sueltos y publicidad infantil, y las paginas de los cómics de aventuras como el Corsario de Hierro.

Había otros dos héroes similares al Corsario de Hierro que tenían sus propios álbumes , eran el Jabato y el Capitán Trueno, junto con los álbunes traducidos de Tarzán , Superman y Batman.

Imitándolos apareció la colección OLE! con álbumes monográficos de los principales personajes de Bruguera , que tuvieron su antecesor en los tebeos que se publicaban mensuales y que les ponían el Super delante del nombre, como Supermortadelo o Superpulgarcito.

Toda una industria que nos enseño a leer, reír  y soñar , lo que se han perdido nuestros hijos.