Funciones, derivadas e integrales.

Vamos a repasar de forma lo más coloquial posible conceptos matemáticos que no tienen que asustar, vamos a tratar de hacerlos lo más intuitivos posibles para que tengas éxito  si tienes que examinarte de ellos o para que simplemente encuentres el placer de su compresión.

La función es una relación que liga las variables independientes con las variables dependientes, por ejemplo una variable independiente x puede ser la edad de un niño y la variable dependiente y será la altura del niño, la función que las relaciona será una relación proporcional del tipo y = kx donde k es un numero que multiplicando la edad nos da la altura.

Esta función se puede representar en unos ejes cartesianos colocando los valores de x el eje horizontal o de abcisas y los correspondientes de y  en el eje vertical u ordenadas de esta forma uniendo las parejas de puntos obtendremos una recta,  en el ejemplo, para que la función fuese más representativa de la realidad  habría que añadir un valor b que sería el peso el día del nacimiento, de manera que la función quedaría y = kx+b , también es muy frecuente sustituir la y por f(x) quedando f(x) = kx+b .

El valor k también se llama pendiente de la recta y es un valor que nos da la idea de la inclinación de la recta que sale uniendo las parejas de puntos (x,y).

Esta pendiente es numéricamente igual al valor de la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta con el eje x, se escribe k = tg alfa siendo alfa dicho ángulo.

También se llama a b ordenada en el origen al ser el valor de y cuando x vale cero.

Este caso es muy simple es el caso en el que la función se representa por una recta, pero una función sirve para expresar muchos fenómenos en muchas ciencias, por ejemplo en física  o en economía , tendremos unas variables independientes cuyas relaciones nos den la variable dependiente y que en el caso más simple de una única variable  independiente x se puede representar fácilmente la función en unos ejes cartesianos tomando el aspecto de recta como en le ejemplo , de parábola si aparece el exponente 2 en la variable independiente esto es y = kx2  o curvas de aspecto parabólico para otros exponentes.

También son muy representativas de fenómenos científicos la curva exponencial y la curva logarítmica.

Y en casos generales la curva tendrá un aspecto mas o menos de serpiente para funciones de tipo polinómicas en las que y es igual a una combinación de sumas y restas de potencias de la variable x, o aspecto por ejemplo de hipérbola con dos ramas cuando la función tiene forma de fracción de polinomios con la variable x en el denominador.

Vamos a introducir un concepto  que causa espanto, pero que tiene que ser muy intuitivo, la función derivada de otra función, se suele representar por y’ o por f’(x) o por dy/dx .

Conceptualmente se define la función derivada de otra función aquella que nos da los valores de la pendiente de la recta tangente a la primera función en cada punto x.

Es de una enorme utilidad para estudiar funciones ya que nos informa del aspecto de la función f(x), es decir cuando el valor que tome f’(x) es mayor que cero  la función diremos que es creciente , esto es que al aumentar la  x aumenta la y.

El caso contrario si la función derivada f’(x) es menor que cero  la función diremos que es decreciente , esto es al aumentar la x diminuirá la y  .

Y es de  suma importancia cundo f’(x)  toma el valor cero ya que nos encontramos ante un valor máximo o mínimo de la función f(x), es decir una cresta o un valle de la curva.

Una utilidad práctica de esto son los problemas de máximos  y mínimos en los cuales normalmente tenemos una función z que depende de dos variables x e y , esto es z= f(x,y)  pero  normalmente estas variables no son independientes, existe entre ellas una relación de dependencia  y=g(x) siendo g otra función

Ejemplo: El cuadrado es la figura de mínimo perímetro para una superficie dada.

Demostremos que dada una superficie A  el rectángulo de menor perímetro es el cuadrado.

Supongamos los lados x e y, de forma que A=x*y  ecuación de condiciones que cumplen las variables dependientes .

El perímetro P= 2x+2y

Como y=A/x sustituyendo en la función que queremos minimizar, queda

P=2x+2(A/x)

P= (2x^2+2A)/x          , función que debe cumplir  dP/dx=0 para obtener la x que hace el perímetro mínimo

dP/dx=(4x^2-2x^2-2A)/(x^2) que igualando a cero

2x^2-2A=0   con lo que x es la raíz cuadrada del área A quedando el mismo valor para y.

Para terminar vamos a introducir el concepto de  Integral o función primitiva que no es otro que simplemente una relación inversa entre las  funciones, es decir si f’(x)  es la función derivada de f(x) se  dice  que  f(x) es por tanto la función primitiva o integral de f’(x)=F(x) , la definición es por tanto una relación de lógica.

Después existen métodos prácticos para calcular derivadas e integrales.

Hay que resaltar que mientras cualquier función se puede derivar por que según la definición de derivada siempre tendrá la función una recta tangente en cada punto y  la derivada es la función que os daba el valor de la pendiente  de esa recta tangente.

No todas las funciones se pueden integrar, ya que para tener función primitiva tienen que ser derivadas de alguien  y eso no ocurre para cualquier función , solo para las que se obtienen derivando otra.

Espero haber aclarado un poco estos bonitos conceptos matemáticos